Одночлены представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Числа, переменные и их степени тоже считаются одночленами. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можно привести в вид 20a^2b^2.Такой вид называется стандартным видом одночлена.То есть, стандартный вид одночлена - это произведение коэффициента (стоящего на первом месте) и степеней переменных. Коэффициенты 1 и -1 не пишут, но от -1 сохраняют минус. Одночлен и его стандартный вид
Выражения 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами. Одночленами также считают числа, переменные и их степени.
Например, выражения - 8, 35,y и y2 - одночлены.
Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например коэффициент одночлена -7x2y2 равен -7. Коэффициенты одночленов x3 и -xy считают равными 1 и -1, так как x3 = 1x3 и -xy = -1xy
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю.
Например степень одночлена 8x3yz2 равна 6, одночлена 6x равна 1, одночлена -10 равна 0.
Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень
При умножении одночленов и возведении одночленов в степень используется правило умножения степеней с одинаковым основанием и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.
Например
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: интегрированный (с ИКТ), урок введения новых знаний.
Цели и задачи (алгебра): ввести понятие одночлена; степень одночлена; стандартный вид одночлена. Научить учащихся приводить одночлены к стандартному виду. Продолжить формирование навыков выполнения действий со степенями. Совершенствовать вычислительные навыки учащихся. Развивать внимательность, аккуратность.
Цели и задачи (ИКТ): научить использовать в практической деятельности встроенный редактор формул в MS Office Word; развивать навык самостоятельной работы.
Материалы, используемые на уроке: презентация, компьютерный класс с установленным пакетом MS Office (Word), опорный конспект практической работы, карточки с заданием для самостоятельной работы, мультимедиа установка.
Ход урока
I. Организационный момент .
Приветствие учащихся.
II. Устные упражнения.
(слайд на экране2).
- Представить в виде степени: y 3 *y 2 ; (y 3) 5 ; y 7 *y 3 ; (y 7) 4 ; а 10 /а 8 .
- Каким числом (положительным или отрицательным) является значение выражения: (-8) 10 ; (-5) 27 ; 7 5 ; -2 8 ; -(-1) 7 .
- Вычислите: (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8 /3 7 .
III. Изучение нового материала.
Сообщение темы урока и целей и задач урока (слайд 3,4).
6*x 2 *у; 2*x 3 ; mn 7 ; ab; -8 (слайд 5)
- Прочитайте выражения, записанные на доске.
- Что собой представляют эти выражения?
Выражения такого вида называются одночленами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Одночлен – это произведение чисел и переменных, степеней переменных либо число, переменная, степень переменной.
Посмотрите внимательно на экран (слайд 7). Какие из следующих выражений являются одночленами? Почему?
IV. Закрепление нового материала.
№463 – самостоятельно. Проверка фронтальная. (Слайд 8).
V. Изучение нового материала.
Пусть у меня есть одночлены
2х 2 у*9y 2 и 8х*9ху (слайд 9)
Воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения. Получим:
2*9*х 2 *у*y 2 =18х 2 y 3 и 8*9*х*х*у=72х 2 у.
- Что мы получили?
- Что собой представляет?
Мы представили одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называется стандартным видом.
- Какой же одночлен называется одночленом стандартного вида?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: одночлен называется одночленом стандартного вида, если имеет 1 числовой множитель, стоящий на первом месте (коэффициент), произведение одинаковых переменных в нем записано в виде степени.
Прочитайте те одночлены, которые записаны в стандартном виде. Назовите их коэффициенты.
VI. Закрепление нового материала.
№464 – устно, №465 – под руководством учителя.
VII. Задание, выполняемое на компьютере (практическая работа).
Программа MS Word. Встроенный редактор формул. Использование встроенного редактора формул для записи одночленов. Файл «Стандартный вид одночлена» на рабочем столе. Заполните подготовленную таблицу, используя встроенный редактор формул.
Заполните таблицу. (Слайд 15)
Проверка – на экране (слайд 16) и сохраненные файлы учащихся.
VIII. Изучение нового материала.
- Что записано на доске?
- Назовите показатель степени переменной Х?
- Назовите показатель степени переменной Y?
- Найдите сумму показателей степеней. Это число называется степенью одночлена.
На странице 84 учебника найдите определение степени одночлена. Прочитайте его.
IX. Закрепление нового материала .
№ 473 – устно;
№ 467(а; г) – комментировано у доски.
X. Самостоятельная работа .
На экране по вариантам (слайд 19). (У каждого учащегося на парте листок с заданием для выполнения работы – Приложение 2 )
Проверка – самопроверка с записью (на экране слайд 20).
XI. Подведение итогов.
- Что же такое одночлен?
- Одночлен, какого вида называют стандартным одночленом?
- Что называется степенью одночлена?
XII. Домашнее задание.
П.19, №466, 468, 476, 470.
Спасибо за урок! (слайд 23)
Список использованной литературы:
- Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2007.
В математике существует множество различных математических выражений, и кекоторые из них имеют свое закрепившиеся названия. С одним из таких понятий нам и предстоит познакомиться – это одночлен.
Одночлен - это математическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных, каждая из которых может входить в произведение в некоторой степени. Для того, чтобы лучше разобраться с новым понятием, необходимо ознакомиться с несколькими примерами.
Примеры одночленов
Выражения 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 являются одночленами. Как видите, одно только число или переменная (в степени или без) тоже является одночленом. А вот, например, выражения 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 уже не являются одночленам , так как они не подходят под определения. В первом выражении используется «сумма», а это недопустимо, во втором – «деление», в третьем – разность.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Например, выражение 2*a^3*b/3 тоже является одночленом, хотя там и присутствует деление. Но в данном случае деление происходит на число, и поэтому соответствующее выражение можно переписать следующим образом: 2/3*a^3*b. Еще один пример: какое из выражений 2/х и х/2 является одночленом, а какое нет? правильно ответить, что первое выражение не одночлен, а второе одночлен.
Стандартный вид одночлена
Посмотрите на следующие два выражения-одночлена: ¾*a^2*b^3 и 3*a*1/4*b^3*a. На самом деле это два одинаковых одночлена. Не правда ли, что первое выражение выглядит более удобным, чем второе?
Причиной этого является то, что первое выражение записано в стандартном виде. Стандартный вид многочлена - это произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных. Числовой множитель называется коэффициентом одночлена.
Для того, чтобы привести одночлен к его стандартному виду, достаточно перемножить все числовые множители, присутствующие в одночлене, и поставить получившееся число на первое место. Затем перемножить все степени, у которых одинаковые буквенные основания.
Приведение одночлена к его стандартному виду
Если в нашем примере во втором выражении перемножить все числовые множители 3*1/4 и потом умножить a*a, то получится первый одночлен. Это действие называется приведение одночлена к его стандартному виду.
Если два одночлена различаются только числовым коэффициентом или равны между собой, то такие одночлены называются в математике подобными.
Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.
Что такое одночлен
В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:
Определение 1
К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.
Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 будут относиться к одночленам. Все переменные, например, x , a , b , p , q , t , y , z тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 и t 15 , а также выражения вида 65 · x , 9 · (− 7) · x · y 3 · 6 , x · x · y 3 · x · y 2 · z и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена.
Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида 2 + 3 · i · x · z 4 , 2 · x , 2 · π · x 3 тоже будут одночленами.
Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему
Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.
Определение 2
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.
Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Сюда же можно отнести выражение x · y (здесь коэффициент будет равен 1), − x 3 (тут коэффициент равен - 1).
Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · (− 1) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).
Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6 · a · b 4 · c · z 2 , чем b 4 · 6 · a · z 2 · c . Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.
Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.
Понятие степени одночлена
Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.
Определение 3
Степенью одночлена , записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0 , то его степень будет нулевой.
Приведем примеры степеней одночлена.
Пример 1
Так, одночлен a имеет степень, равную 1 , поскольку a = a 1 . Если у нас есть одночлен 7 ,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0 . А вот запись 7 · a 2 · x · y 3 · a 2 будет одночленом 8 -й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.
Пример 2
Покажем, как подсчитать степень одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · (− 2) · x 5 · y . В стандартном виде его можно записать как − 6 · x 8 · y 4 . Вычисляем степень: 8 + 4 = 12 . Значит, степень исходного многочлена также равна 12 .
Понятие коэффициента одночлена
Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.
Определение 4
Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.
Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.
Пример 3
Так, в выражении 8 · a 3 коэффициентом будет число 8 , а в (− 2 , 3) · x · y · z им будет − 2 , 3 .
Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1 , например, в выражениях a , x · z 3 , a · t · x , поскольку их можно рассматривать как как 1 · a , x · z 3 – как 1 · x · z 3 и т.д.
Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом - 1 .
Пример 4
Например, такой коэффициент будет у выражений − x , − x 3 · y · z 3 , поскольку они могут быть представлены как − x = (− 1) · x , − x 3 · y · z 3 = (− 1) · x 3 · y · z 3 и т.д.
Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9 будет равен 9 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Урок на тему: "Стандартный вид одночлена. Определение. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов
Мультимедийное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 7-9 классов
Одночлен. Определение
Одночлен - это математическое выражение, которое представляет собой произведение простого множителя и одной или нескольких переменных.К одночленам относятся все числа, переменные, их степени с натуральным показателем:
42; 3; 0; 6 2 ; 2 3 ; b 3 ; ax 4 ; 4x 3 ; 5a 2 ; 12xyz 3 .
Довольно часто бывает трудно определить, относится ли данное математическое выражение к одночлену или нет. Например,
$\frac{4а^3}{5}$. Это одночлен или нет? Чтобы ответить на этот вопрос надо упростить выражение, т.е. представить в виде: $\frac{4}{5}*а^3$.
Мы можем точно сказать, что данное выражение - одночлен.
Стандартный вид одночлена
При вычислениях желательно привести одночлен к стандартному виду. Это наиболее краткая и понятная запись одночлена.Порядок приведения одночлена к стандартному виду следующий:
1. Перемножить коэффициенты одночлена (или числовые множители) и полученный результат поместить на первое место.
2. Выбрать все степени с одинаковым буквенным основанием и перемножить их.
3. Повторять пункт 2 для всех переменных.
Примеры.
I. Привести заданный одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ к стандартному виду.
Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $15х^2y^3z * y^2z^4$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $15х^2y^5z^5$.
II. Привести заданный одночлен $5a^2b^3 * \frac{2}{7}a^3b^2c$ к стандартному виду.
Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $\frac{10}{7}a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $\frac{10}{7}a^5b^5c$.
